중2 이등변삼각형 고찰 문제

2020. 6. 26. 15:26etc/교육문제

큰 녀석 학교에서 내 준 과제

평소에 아들의 학교 과제에 별 관심이 없는 아빠다, 나는. 아이가 과제물이 어려워 물어보는 경우가 아니라면. 그리고 아내가 '미션'을 주지 않는 경우라면. 이번 경우는 두 번째에 해당한다.

며칠 전 아침, 아내가 큰 녀석의 수학 과제가 어렵다면서 풀어보라고 하고 출근을 했다. 아내는 과고 출신. 인문계 능욕 미션이 아닐까 하는 의구심도 들었지만, 그래봐야 과고 출신한테 한 수 배우는 것이겠거니 싶어 아들 책상 위 유인물을 확인해 보았다. 위 문제다.

일단 딱 보고 든 생각은, 큰 녀석은 이 문제에 관심이 없을 것이며, 풀려고 하지도 않을 것이라는 점이었다. 수학도 싫어하는데, 이렇게 사고력을 요하는 문제니까.

이 문제는 '문제 그 자체'를 이해하는 데도 한참이 걸린다(과고 출신 등 수학 귀재들은 다르겠지만).

∠A에 따라서 두 직선 사이에 그릴 수 있는 이등변삼각형의 개수가 어떻게 변화하는지 생각해 보는 게 핵심이고, 그 변화의 규칙성을 수식화할 수 있는가가 핵심 평가 항목이라 하겠다(①). 이것만 파악하면 ②와 ③은 크게 어려움 없이 풀 수 있다. 물론 ②는 조금만 시뮬레이션 해 보면 직관적으로 답변할 수 있는 것이긴 하다. 

'각이 바뀌면 이등변삼각형은 4개보다 줄거나 늘 수 있다'

고 말이다.

20도보다 커지면 4개 이하로, 20도보다 작아지면 4개 이상으로

∠A가 20˚일 때, ∠B와 ∠C는 어떻게 될까? △ABC는 어떤 삼각형일까?

첫 번째 그림의 ∠B나 ∠C를 구하면서 두 직선 사이에 만들어지는 이등변삼각형의 특성을 이해할 수 있다.

편의상 중간에 만들어진 이등변삼각형의 꼭지점에도 기호를 D, E, F로 주고, ∠B나 ∠C를 생각해 보면, ∠C는∠BFC와 같고 ∠BFC는 180˚-(∠DFE+∠BFE)이고, 같은 식으로 해 나가면 ∠A로부터 ∠C를 구할 수 있다.

즉, ∠FDE=∠A+∠DEA인데, △ADE는 이등변삼각형이므로 ∠A=∠DEA이니 ∠FDE=2*∠A이다.

∠FEB는 △DEF의 한 외각에서(아래쪽 점선을 고려하면), ∠DEA의 맞꼭지각(맞꼭지각은 서로 같다)을 빼준 각이다. 삼각형 한 외각의 크기는 두 내각의 합이므로 
∠FEB=∠FDE+∠DFE-∠DEA
∠DEA=∠A이고, ∠FDE=2∠A이므로
∠FEB=2∠A+2∠A-∠A=3∠A이다.
마찬가지 방법으로 ∠CFB=∠FEB+∠FBE-∠DFE ⇔ ∠CFB=3∠A+3∠A-2∠A=4∠A
그러므로 ∠CFB=4∠A이다.
따라서 ∠C=4∠A다.
∠A=20°였으므로, ∠C=80°가 된다.

이를 통해서 알 수 있는 것은 ∠C와 ∠B 만이 아니다. 두 직선 사이에 만들어지는 이등변삼각형의 밑각이 일정하게 증가한다는 것이다.

첫 번째 이등삼각형(=이삼) 밑각(∠A)을 x라고 하면, 그 다음 이삼의 밑각은 2x, 그 다음 이삼의 밑각은 3x, 그 다음 4x라는 것이다. 이것을 n번째 이삼의 밑각으로 일반화해 보면, nx로 표현할 수 있다.

nx는 n번째 밑각

그 다음으로 생각해 볼 수 있는 것은 x값(두 직선 사이의 각)의 변화에 따라 n값이 어떻게 변하는지 하는 관계를 수식으로 표현하는 것이다.

삼각형이 되기 위해서는 세 내각의 합이 180˚여야 한다. 따라서 두 각의 합이 180˚보다 크다면 삼각형이 만들어질 수 없다. 두 직선 사이에 만들어지는 이삼들 밑각에 대한 특성을 일반화한 것이니 저 밑각의 합이 180˚보다 크면 삼각형이 더 이상 만들어지지 않는다는 것을 알 수 있다.

즉, nx≥90이면, 삼각형이 만들어지지 않는다. 따라서 nx<90일 때, 이등변삼각형이 만들어진다.

그럼 n<90/x가 된다.

만들어지는 이삼의 수는 90/x보다 작은 최대 양의 정수값이 된다. x=20이면, 90/x=4.5이므로 n<4.5. 즉 이삼이 4개 만들어진다는 소리다.

x=45면, n<2이므로 이삼은 1개

x=80이면, n<1.125이므로 이삼은 1개

x=40이면, n<2.25이므로 이삼은 2개

x=30이면, n<3이므로 이삼은 2개

이런 식으로 생각해 보면 이삼의 갯수에 따른 x값의 범위를 생각해 볼 수 있다.

45≤x<90, n(의 최대값은)=1

30≤x<45, n=2

22.5≤x<30, n=3

18≤x<22.5, n=4

15≤x<18, n=5

...

이렇게 되게 된다. 따라서 x값이 작아짐에 따라 n값이 점차 증가하게 되고, 그 한계가 없다는 것을 알 수 있다. 무한대로 발산하게 된다.

여기까지 다뤘다면 ①과 ②를 해결한 셈이다.

③은 n번째 밑각 전체 큰 삼각형의 다른 밑각과 같은 경우와 그 n번째 밑각이 90도인 경우로 구할 수 있다.

간단하게 그린 △ABC로 보면,

이등변삼의 조건은 ∠B와 ∠C가 같으면 된다. 그러므로,

nx=(n-1)x+180˚-2nx

가 된다. n번째 이등변삼의 밑각은 앞에서 본대로 nx이다. 꼭지각은 두 밑각의 합을 180˚로 빼 주면 나오므로 180˚-2nx가 된다. ∠ABC는 ∠ABD+∠CBD이므로, (n-1)번째 이등변삼의 밑각 (n-1)x+180˚-2nx가 ∠ABC가 된다. 그러므로

nx=(n-1)x+180˚-2nx
nx=nx-x+180˚-2nx
2nx+x=180˚
x(2n+1)=180˚
x=180˚/(2n+1)

그래서 전체 △ABC가 이등변삼이 되는 조건은

∠A=180˚/(2n+1)

이다.

n=1, 즉 내부 이등변삼이 1개만 만들어지는 경우 △ABC가 이등변삼이 되는 경우(∠B=∠C인 경우)는 ∠A=60˚일때 이다.

n=2, 즉 내부 이삼이 2개, △ABC 이삼 ∠A=36˚일때다.

...

△ABC가 이삼되는 각은 작아지면서 무수히 많게 된다.

이번엔 직각삼각형이 되는 경우를 보면, n번째 각이 직각이 되는 경우를 계산하면 되겠다. 그렇다면 nx=90˚으로 간단한데, 여기서 하나 더 고려해야 할 것은 n번째 밑각이 90˚라면 n번째 이등변삼이 만들어지지 않게 된다는 점이다.

n=1이면 ∠A=90˚이므로 이삼의 갯수는 0개다. 이를 통해서 보면 nx=90˚일때, △ABC 내부의 이삼의 갯수는 n-1개가 된다. △ABC의 갯수를 n개로 정리하려면 n에 n+1을 대입해 주면 된다. 그러므로 (n+1)x=90˚으로 놓으면 이삼의 갯수는 n개가 된다.

그러므로 △ABC가 직각삼각형이 되는 조건은

∠A=90˚/(n+1)

이다.

n=1, 즉 △ABC 내부 이등삼이 1개이면서 △ABC가 직각삼각형인 경우는 ∠A=45˚이다.

n=2, 즉 △ABC 내부 이등삼이 2개이면서 △ABC가 직각삼각형인 경우는 ∠A=30˚이다.

...

△ABC가 직각삼각형이 되는 ∠A는 작아지면서 무수히 많아진다.

 

이걸 중2 아들에게 어떻게 이해시킬 수 있을지... 학교 수학 수업에서는 이 문제를 다루는 수업이 3주 가량 진행되었다고 한다. 큰 녀석은 그 수업을 듣지 않았다고 한다. 다시 들어보라고 했지만 콧등으로도 듣지 않는 눈치다.